Las palabras fácil y sencillo aluden a una actividad, o a su resultado.
Fácil significa que hace falta poco esfuerzo para conseguir el resultado.
Sencillo significa que hay pocos pasos para realizar esta actividad y que cualquiera puede hacerlo:

Un problema de matemáticas fácil = un problema que se resuelve sin esfuerzo
Un problema de matemáticas sencillo = un problema que se resuelve en pocos pasos
Encontrar su casa fue fácil = no nos costó tiempo ni esfuerzo
Encontrar su casa fue sencillo = Fue salir, caminar un poco y allí estaba

Los dos adjetivos admiten un infinitivo con preposición de como argumento:

El pescado es sencillo de preparar = Preparar pescado es sencillo
El pescado es fácil de preparar = Preparar pescado es fácil

Fácil no se usa con objetos, no podemos decir

INCORRECTO: *un restaurante fácil, un vestido fácil

Sin embargo, sencillo sí se usa con objetos en el sentido de "sin adornos o sin lujo":

Ponte un vestido sencillo = Ponte un vestido sin adornos
Vamos a comer a un sitio sencillo = Vamos a comer a un restaurante económico, sin lujo

La palabra simple se refiere a la forma o estructura de un objeto. Significa que el objeto no tiene estructura interior, está hecho de una sola pieza. Compara:

Este nudo es simple = solamente tiene un elemento
Este nudo es sencillo = cualquiera puede hacerlo

Normalmente, lo que es simple, también resulta sencillo y fácil. Sin embargo, en el sentido gramatical, no es así:

"Alhelí" es una palabra simple (= sólo tiene una raíz) pero no es fácil para un alumno de español
La frase "caían en hidromurias, en salvajes ambonios, en sustalos exasperantes" es simple (= sólo tiene un verbo) pero no es nada sencilla de entender

Lo contrario de simple es compuesto o complejo: lo que tiene varias partes:

La forma "ha comido" se llama Pretértito Perfecto Compuesto porque tiene dos partes: el verbo haber y el participio

Lo contrario de sencillo es complicado, lo que se realiza en muchos pasos:

Conseguir la residencia en España es complicado porque el solicitante tiene que cumplir muchos requisitos

Lo contrario de fácil es difícil, lo que cuesta hacer.

Mantener una familia numerosa es difícil

Con personas estos adjetivos cambian ligeramente.

Una persona sencilla es natural, espontánea o ingenua. Es un rasgo que suele percibirse como positivo.
Una persona simple es una persona "sin estructura interior", es decir, sin educación, algo primitiva o incluso tonta. Es un rasgo muy negativo.
Una persona fácil es "fácil de convivir", con la que hablas e interactuas sin esfuerzo. Es algo muy positivo.
Sin embargo, una mujer fácil puede significar que tiene "un sí fácil", es decir, que no necesita muchos preámbulos para acostarse con alguien.

Delante de los sustantivos "simple" pasa a significar "solamente"

Soy un simple camarero = Soy solamente un camarero (por eso tengo un estatus social bajo, etc.)
El simple hecho de vivir en España ayuda a aprender español = solamente el hecho de vivir en España ya ayuda

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