Limpiar es el verbo más genérico, y significa "quitar la suciedad y los objetos que molestan". De modo que

Voy a limpiar el coche = Voy a quitar las cosas que hay dentro, también voy a quitar el polvo y la suciedad
Hijo, límpiate la cara = Quita la suciedad que hay en tu cara

Solemos limpiar la casa, los cristales y el polvo, normalmente, con un trapo o una bayeta.

Tanto fregar como lavar significan "limpiar con agua". Fregar supone frotar con fuerza, y se usa sólo con los platos y los suelos:

Yo friego el pasillo y tú el salón = Yo voy a lavar el suelo del pasillo y tú, el del salón

Los suelos se friegan con una fregona, y los platos, con un estropajo.

El verbo fregar se puede usar solo, sin objeto directo. Entonces se sobreentiende que se friega el suelo o los platos:

¿Has fregado ya? = ¿Has lavado los platos? / ¿Has lavado el suelo?

En México fregar puede significar "molestar mucho", y suena un poco feo.

Se puede lavar todo lo demás: la fruta, el coche, las partes del cuerpo (en este último caso es pronominal: lavarse):

Tienes que lavar el coche, está muy sucio
Hijo, lávate las manos antes de comer
Voy a lavarme el pelo

Para lavar algo usamos el jabón para las manos, el detergente para la ropa y el champú para el pelo.

Compara otra vez:

Limpiar el coche = Quitar las cosas que molestan por dentro, pasar la aspiradora, lavar por dentro y por fuera
Lavar el coche = Lavar el coche por fuera

Limpiar la fruta = Lavar la fruta, quitar la piel y las pipas
Lavar la fruta = Sólo lavar la fruta por fuera

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