Esta enfermedad se trata con antibióticos – Эта болезнь лечится антибиотиками, т.е. надо принимать антибиотики, чтобы поправиться
Esta enfermedad se cura con antibióticos – Эта болезнь излечивается с помощью антибиотиков, т.е. от нее не умирают, если принимать антибиотики

Различие хорошо видно, если эти глаголы поставить в одной фразе:

Me he tratado y me he curado – Я лечился и вылечился

Если речь идет о болезни, которую вы хотите вылечить, tratar используется с прямым дополнением, а curar – с предлогом de:

Necesito tratarme ____ la depresión (= Tengo que ir al psicólogo, tomarme antidepresivos,…) – Мне надо лечиться от депрессии
Necesito curarme de la depresión (= Necesito estar bien, sano ) Мне надо вылечиться от депрессии

Если вас кто-то лечит, следует употреблять глагол tratar или atender:

Me está tratando (=atendiendo) una médico muy maja (нельзя me está *curando) – Меня лечит очень приятная докторша

Напротив, если вы указываете больной орган, можно использовать только глагол curar, в этом случае, с прямым дополнением:

Este médico joven es el que me está curando ___ la pierna (нельзя me está *tratando la pierna) – Вот этот молодой врач мне лечит ногу

Глагол curar, к тому же, можно использовать в переносном смысле:

Esta mujer le va a curar el corazón (= Esta mujer le hará olvidar sus penas y le sacará de la depresión) Эта женщина вылечит ему сердце

Не менее часто, чем эти глаголы, в испанском употребляются отглагольные существительные с hacer:

hacer el tratamiento = лечиться, пройти курс, следовать предписаниям врача
hacer la cura = лечить больное место (швы, рану)

Выражение hacer el tratamiento удобно тем, что можно уточнить, как именно вы лечитесь (в этом случае при слове tratamiento появится неопределенный артикль):

Tengo problemas con el corazón, por eso necesito hacer un tratamiento de estimulación – У меня проблемы с сердцем, мне нужно пройти курс электростимуляции/лечиться электростимуляцией

Глагол sanar мы оставили на потом, потому что в Испании он редко используется в разговорной речи. Смысл его совпадает со смыслом глагола curarse:

Las heridas sanaron = Las heridas se curaron – Раны затянулись (вылечились)
Tu corazón va a sanar = Tu corazón va a curarse – Твое сердце вылечится

Наконец, стоит отметить, что в разговорной речи часто говорят arreglarse (привести в порядок) в значении лечить:

Tengo caries, voy a arreglarme los dientes – У меня кариес, мне нужно лечить/привести в порядок зубы

Para poder corregir los ejercicios, entra en el Portal con tu nombre y contraseña